Vinko Puljic nació el 8 de septiembre de 1945 en Bosnia Herzegovina, en el seno de una familia pobre pero muy rica espiritualmente. Fue el hermano número 12, de 13 en total que componían la familia. Cuando sólo tenía 3 años, su madre, Kanja, murió. Su padre Ivan, un hombre de una profunda piedad, se volvió a casar. Ana fue una auténtica madre para todos los niños.
Vinko vivió la fe en su familia. Desde muy pequeños rezaban el Rosario todas las noches, con su padre a la cabeza. Vinko siempre ha mostrado una gran devoción a la Virgen María, algo que aprendió en estos ratos en familia. Además de por su familia, la fe de Vinko estuvo alimentada por los monjes trapenses del monasterio de Marija Zvijezda, situado muy cerca de su localidad natal, Prijecani, en la diócesis de Banja Luka.
De hecho, fue uno de los monjes el que ayudó a Ivan a mandar al niño al seminario menor de Zagreb. En realidad, el padre Ante Artner vendió su moto y le dio el dinero al padre de Vinko para ayudar en los gastos, tal y como se supo durante la pirmera misa de Vinko, en 1970. En el seminario, y ya ordenado sacerdote, el padre Vinko se convitió en un auténtico hermano mayor para los seminaristas más jóvenes.
Tanto, que les trasladaba la profunda fe que había vivido en su casa, y les recordaba a los seminaristas lo que su padre le decía a él de pequeño, cuando no aguantaba rezando con los brazos extendidos: «Hijo, recuerda a Jesús colgando en la cruz con los brazos extendidos». El padre Vinko cuidó especialmente de que los jóvenes seminaristas entendieran y aceptaran mejor su vocación sacerdotal. Durante aquella época fue confesor de un monasterio benedictino y dirigió numerosos ejercicios espirituales para sacerdotes, seminaristas y religiosas.
En el verano de 1987, el padre Vinko finalizó su etapa como director espiritual del seminario menor de Zadar y regresó a su diócesis, donde fue nombrado párroco de Bosanska Gradiska. En 1990 fue enviado a Sarajevo como vicerrector del seminario mayor. Ese mismo año fue nombrado arzobispo, convirtiéndose en el sexto después de la reconstrucción de la jerarquía eclesiástica en 1881 después de la ocupación de tuirca, que había durado cuatro siglos.
El arzobispo Vinko vivió la guerra de Bosnia ayudando a los miles de refugiados y exiliados, y no cejó en hacer llamamientos en favor del respeto a los derechos inalienables de la persona sin distinción de su raza o religión. Fue un hombre profundamente comprometido con la paz, y mantuvo contactos constantes con los líderes ortodoxos y musulmanes de Bosnia-Herzegovina.
Durante la guerra, el arzobispo Puljic no dejó de lado sus visitas pastorales, en muchos casos exponiendo su propia vida. En una de estas ocasiones, fue retenido por el ejército serbio durante 12 horas. A pesar de que muchos no comulgaban con sus ideas, el arzobispo se ganó el respeto generalizado de la población y de los políticos.
Los sufrimientos entonces también fueron muchos. El propio Papa Juan Pablo II le escribió en 1993: «Cuando le impuse las manos el 6 de enero de 1991 para consagrarle como pastor de la Iglesia de Sarajevo no tenía ni idea de qué pronto se le haría pesada la cruz y amarga la copa».
Fue nombrado cardenal en 1994, de manos de Juan Pablo II.